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INTRODUCTION
纸箱包装中的数学问题
发布时间:2017-02-27 14:01  阅读次数次  
        某种产品的形状是长方体,它的长、宽、高分别是16 cm、6 cm、3 cm. 请为厂家设计一种包装纸箱,使每箱能装30件这种产品,且该纸箱所用材料尽可能少. 
  【分析】(1) 先从含2块小长方体的包装纸箱考虑: 
  从表格中可以看出,方案1的表面积最小(所用材料最少). 
  观察图4至图6,可以发现:如果相同小立方块的数量一定,当其重叠部分面积较大时,包装纸箱的表面积较小. 
  观察上面的表格,可以得出结论:在包装纸箱外观尺寸中,当长、宽、高的和较小时,包装纸箱的表面积较小. 
  (2) 再考虑含10块小长方体的包装纸箱的情形. 
  小长方体分别摆放为1层(方案4到方案7)、2层(方案8到方案9)、5层(方案10到方案11)、10层(方案12). 当小长方体分别摆放为1、2、5层时,包装纸箱长与宽越接近,表面积越小. 因为16>6,也可以说横向摆放多于纵向摆放时包装纸箱的表面积较小(即16乘以较小的数,6乘以较大的数).包装纸箱的长、宽、高是由小长方体的块数和摆放方式确定的. 于是将小长方体的块数10因数分解:10=1×1×10=1×2×5. 显然这三个因数可以分别与16、6、3相乘,作为包装纸箱的长、宽、高. 但因为16>6>3,所以在乘因数时,按照从小到大的顺序来确定. 当按方案8和12摆放时,得出的包装纸箱的长宽高的和最小,故此时包装纸箱的表面积最小(用料最少). 即在包装纸箱外观尺寸中,当长、宽、高的和较小时,包装纸箱的表面积较小. 
  (3) 由以上两种情形得出的经验来解决30块小长方体块包装的问题. 
  首先30=1×1×30=1×2×15=1×3×10=1×5×6=2×3×5. 
  其次对包装纸箱的长、宽、高求和:(Ⅰ)16×1+6×1+3×30=112,(Ⅱ)16×1+6×2+3×15=73,(Ⅲ)16×1+6×3+3×10=64,(Ⅳ)16×1+6×5+3×6=64,(Ⅴ)16×2+6×3+3×5=65. 
  因为64最小,所以包装纸箱的长、宽、高分别为16、18、30时用料最少,只是Ⅲ、Ⅳ两情况下小长方体的摆放方式不同. 
  【变式应用】(1) ①市场上有某种型号的肥皂,可看作是长、宽、高分别是16 cm、6 cm、3 cm的长方体,请你为肥皂设计一个包装盒.②继续思考:如果有30块这样的肥皂,请你设计一种包装纸箱,要求该纸箱所用的材料尽可能少. 
  (2) 有10盒长12 cm、宽8 cm、高3 cm的长方体录音磁带,要将他们包装在一起,要多大的包装纸?怎么样包装最节省包装纸?(包装纸的重叠部分不计) 
  【分析】(1) ①长方体的三视图都是长方形,只需计算出每个视图的面积再乘以2即可,这与长方体的表面积公式是吻合的,在不计接口和损耗的理想状态下,包装纸的面积应为:(16×6+16×3+6×3)×2=324(cm2). 
  ②利用上题的结论可知包装纸箱同一顶点三条棱分别为16 cm、18 cm、30 cm时表面积最小,此时表面积为(16×18+16×30+18×30)×2=2 616(cm2),只是肥皂的摆放方式有两种:其一让纸箱16×18作底,横向排3块再向上摆10层;其二让纸箱16×30作底,横向排5块再向上摆6层. 
  (2) ∵10=1×1×10=1×2×5,∴包装后的长方体的同一顶点三条棱分别为12 cm、8 cm、3×10 cm或同一顶点三条棱分别为12 cm、8×2 cm、3×5 cm时表面积较小,又∵12+8+3×10=50,12+8×2+3×5=43,而50>43,故横向排2个,再向上摆5层时包装最节省包装纸. 此时用纸为(12×16+12×15+16×15)×2=1 224(cm2). 
  【总结】此类生活问题的解决需理论联系实际,运用发现规律、应用规律、以简代繁的思想方法,同时考查了分类思想以及思维的缜密性. 
  数学与生活的联系可以用密不可分来形容,“源于生活,服务于生活”才是数学学习的最终目的和最高境界!
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